歷史上由勾股定理產(chǎn)生的推論和猜想

歷史上由勾股定理產(chǎn)生的推論和猜想

數(shù)學中有一句口訣大家都耳熟能詳，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的兩條直角邊長度分別是3和4時，它的斜邊長度為5?，F(xiàn)代研究認為，最早發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的是古巴比倫人。在中國，據(jù)傳是商代的商高最早發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，《周髀算經(jīng)》里有記載，記曰：“數(shù)之法，出于圓方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”，所以叫勾股定理。古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯也發(fā)現(xiàn)并用演繹法證明了勾3股4弦5規(guī)律。由于歐洲文化在近現(xiàn)代的廣泛傳播，世界上將這一規(guī)律稱為畢達哥拉斯定理。據(jù)說發(fā)現(xiàn)和證明這個定理之后，畢達哥拉斯宰了一百頭牛來慶祝，所以又叫做百牛定理。

勾股定理的概念是：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。

在高中數(shù)學必修五教材第一章中，有余弦定理，內(nèi)容是：。從書上的原話，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的一種特殊情況。這樣，在歐幾里德平面的任意三角形中的情況都被考慮到了。

還有一種特殊的三角形，叫曲邊三角形。曲邊三角形中的邊，實際上已經(jīng)變成了曲線。它的“角度”也不是平時我們所熟知的角度了。對于曲邊三角形的性質(zhì)，我還不是很能理解。所以我產(chǎn)生的猜想僅限于直線構成的三角形。

如果將勾股定理推廣到立體中，會怎么樣呢？

勾股定理的公式是：a²+b²=c²。有一種證明勾股定理的方法便是證明兩個正方形面積之和等于一個大正方形的面積。在立體空間中，給這三個正方形加上第三條邊使它們變成正方體，會怎么樣呢？由于原正方形滿足a²+b²=c²，所以它們的邊不會都相等，那么便不會滿足a³+b³=c³。那么，換幾個正方體就可以滿足這個公式了。
于是我取了幾組數(shù)據(jù)，a=1，b=1，c=2(1/3)；a=2，b=1，c=9(1/3)；a=2，b=2，c=16(1/3)。繼續(xù)向上方取，得a=2，b=3，c=35(1/3)；a=3，b=3，c=54(1/3)……一直向上面取，在a與b都是10以內(nèi)竟然沒有一組數(shù)據(jù)滿足三個數(shù)都是自然數(shù)。

A4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c應當有數(shù)據(jù)滿足三個數(shù)都是自然數(shù)。

接下來我又發(fā)現(xiàn)，a5+b5=c5，在a與b也是10以內(nèi)沒有一組數(shù)據(jù)滿足三個數(shù)都是自然數(shù)。

于是我產(chǎn)生了一個猜想：不會有任何三個自然數(shù)a、b、c滿足an+bn=cn（n為奇數(shù)）。

這個猜想其實是初三時候偶然想起的。但是后來看到了“費爾馬大定理”，才明白我的猜想是有錯誤的。“費爾馬大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù)）。所以“費爾馬大定理”中提出，在A4+b4=c4中也沒有滿足的自然數(shù),并且凡是2以后的n值都不會有。但是對于這個的理解，是我設計了一個計算程序之后才肯定的。

計算程序使用VB6.0企業(yè)版，現(xiàn)將代碼顯示如下：
PrivateSubCommand1_Click()
Fora=1To1000
Forb=1To1000
c=(a^4+b^4)^(1/4)
Ifc\1=cThen
End
Else
Picture1.Print0;
EndIf
Nextb
Picture1.Print
Nexta
Picture1.Cls
Picture1.Print"終止,未發(fā)現(xiàn)有符合數(shù)據(jù)"
EndSub

這個程序能夠判斷對于A4+b4=c4中，a、b在1000以內(nèi)時我的猜想是否正確。如果有三個自然數(shù)滿足，程序?qū)詣油顺?；如果沒有，最后將顯示“終止，未發(fā)現(xiàn)有符合數(shù)據(jù)”字樣。實事證明費爾馬對了而我錯了。但1000只是無窮多個自然數(shù)中無限小的一個范圍，用我這種方法，是永遠證明不了費爾馬大定理的，而只能證明在某一個范圍內(nèi)費爾馬大定理是對的。

對于數(shù)學家們究竟使用什么方法證明“費爾馬大定理”的，限于我知識有限，無法理解明白。1637年，法國業(yè)余大數(shù)學家費爾馬提出這一定理，經(jīng)過了歐拉等天才數(shù)學家的努力仍然無法全部給予證明，而只能證明n<100時的定理是正確的。最后給予完整證明的是英國著名數(shù)學家AndrewWiles（安德魯&#8226;威爾斯）。他的證明占滿了美國《數(shù)學年刊》第142卷，竟然長達130頁，這也是要有對數(shù)學的極度癡迷和耐心才能夠做出來的偉大的成績。